التمايز مقابل المشتق
في حساب التفاضل والتكامل ، ترتبط المشتقات والتمايز ارتباطًا وثيقًا ، ولكنها مختلفة جدًا ، وتستخدم لتمثيل مفهومين رياضيين مهمين متعلقين بالوظائف.
ما هو المشتق؟
مشتق من دالة يقيس المعدل الذي تتغير فيه قيمة الوظيفة مع تغير مدخلاتها. في الوظائف متعددة المتغيرات ، يعتمد التغيير في قيمة الوظيفة على اتجاه تغيير قيم المتغيرات المستقلة. لذلك ، في مثل هذه الحالات ، يتم اختيار اتجاه محدد ويتم تمييز الوظيفة في هذا الاتجاه المعين.هذا المشتق يسمى مشتق الاتجاه. المشتقات الجزئية هي نوع خاص من المشتقات الاتجاهية.
مشتق من دالة ذات قيمة متجه f يمكن تعريفه على أنه الحد [اللاتكس] / frac {df} {d \\ boldsymbol {u}}=\\ lim_ {h / to 0} / frac {f (\ boldsymbol {x} + h \\ boldsymbol {u}) - f (\ boldsymbol {x})} {h} [/اللاتكس] أينما وجدت بشكل نهائي. كما ذكرنا سابقًا ، هذا يعطينا معدل زيادة الدالة f على طول اتجاه المتجه u. في حالة الدالة أحادية القيمة ، يتم تقليل هذا إلى التعريف المعروف للمشتق ، [اللاتكس] / frac {df} {dx}=\\ lim_ {h \\ to 0} / frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/اللاتكس]
على سبيل المثال ، [latex] f (x)=x ^ {3} + 4x + 5 [/latex] قابل للتفاضل في كل مكان ، والمشتق يساوي الحد ، [latex] / lim_ {h \\ to 0} / frac {(x + h) ^ {3} +4 (x + h) + 5- (x ^ {3} + 4x + 5)} {h} [/latex] ، وهو يساوي [اللاتكس] 3x ^ {2} +4 [/اللاتكس]. توجد مشتقات الدوال مثل [اللاتكس] e ^ {x} و \\ sin x و \\ cos x [/latex] في كل مكان. إنها تساوي على التوالي الدوال [لاتكس] e ^ {x} ، \\ cos x ، - \\ sin x [/latex].
يُعرف هذا باسم المشتق الأول. عادةً ما يتم الإشارة إلى المشتق الأول للدالة f بواسطة f(1)الآن باستخدام هذا الترميز ، من الممكن تحديد المشتقات ذات الترتيب الأعلى. [لاتكس] / frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}=\\ lim_ {h \\ to 0} / frac {f ^ {(1)} (x + h) -f ^ {(1)} (x)} {h} [/latex] هو مشتق اتجاهي من الدرجة الثانية ، ويشير إلى مشتق nthبواسطة f(n)لكل n ، [اللاتكس] / frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}=\\ lim_ {h \\ to 0} / frac {f ^ {(n -1)} (x + h) -f ^ {(n-1)} (x)} {h} [/latex] ، يحدد المشتق nth.
ما هو التفاضل؟
التفاضل هو عملية إيجاد مشتق دالة قابلة للتفاضل. يمثل عامل D الذي يشير إليه D التمايز في بعض السياقات. إذا كانت x هي المتغير المستقل ، فإن D ≡d/dx. عامل D هو عامل تشغيل خطي ، أي بالنسبة لأي وظيفتين قابلتين للتفاضل f و g وثابت c ، يتم الاحتفاظ بالخصائص التالية.
أنا. د (و + ز)=د (و) + د (ز)
II. D (cf)=cD (f)
باستخدام عامل D ، يمكن التعبير عن القواعد الأخرى المرتبطة بالتمايز على النحو التالي. D (f g)=D (f) g + f D (g) ، D (f/g)=[D (و) ز - و د (ز)]/g 2و D (f o g)=(D (f) o g) د (ز).
على سبيل المثال ، عندما يتم اشتقاق F (x)=x2sin x بالنسبة إلى x باستخدام القواعد المعطاة ، ستكون الإجابة 2 x sin x + x2cos x.
ما الفرق بين التفاضل والمشتق؟• مشتق يشير إلى معدل تغير دالة • التفاضل هو عملية إيجاد مشتق دالة. |
