التوزيع ذو الحدين مقابل التوزيع العادي
التوزيعات الاحتمالية للمتغيرات العشوائية تلعب دورًا مهمًا في مجال الإحصاء. من بين هذه التوزيعات الاحتمالية ، يعد التوزيع ذو الحدين والتوزيع الطبيعي من أكثر التوزيعات شيوعًا في الحياة الحقيقية.
ما هو التوزيع ذي الحدين؟
التوزيع ذو الحدين هو التوزيع الاحتمالي المقابل للمتغير العشوائي X ، وهو عدد مرات النجاح في تسلسل محدود من تجارب نعم / لا مستقلة لكل منها احتمال نجاح ص. من تعريف X ، من الواضح أنه متغير عشوائي منفصل ؛ لذلك ، التوزيع ذو الحدين منفصل أيضًا.
يُشار إلى التوزيع على أنه X ~ B (n ، p) حيث n هو عدد التجارب و p هو احتمال النجاح. وفقًا لنظرية الاحتمالات ، يمكننا استنتاج أن B (n، p) يتبع دالة كتلة الاحتمال [لاتكس] B (n، p) / sim \\ binom {n} {k} p ^ {k} (1-p) ^ {(n-k)}، k=0، 1، 2،… n [/اللاتكس]. من هذه المعادلة ، يمكن استنتاج أن القيمة المتوقعة لـ X ، E (X)=np والتباين X ، V (X)=np (1- p).
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تجربة عشوائية لرمي عملة معدنية 3 مرات. عرّف النجاح على أنه الحصول على H ، والفشل على أنه الحصول على T والمتغير العشوائي X هو عدد النجاحات في التجربة. ثم X ~ B (3، 0.5) ودالة الكتلة الاحتمالية لـ X المعطاة بواسطة [اللاتكس] / binom {3} {k} 0.5 ^ {k} (0.5) ^ {(3-k)} ، ك=0 ، 1 ، 2. [/لاتكس]. لذلك ، فإن احتمال الحصول على 2 ساعات على الأقل هو P (X ≥ 2)=P (X=2 أو X=3)=P (X=2) + P (X=3)=3C2(0.52) (0.51) +3C3(0.53) (0.50)=0.375 + 0.125=0.5
ما هو التوزيع الطبيعي؟
التوزيع الطبيعي هو التوزيع الاحتمالي المستمر المحدد بواسطة دالة كثافة الاحتمال ، [لاتكس] N (\ mu ، \\ sigma) / sim \\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi \\ sigma ^ {2}}} / e ^ {- \\ frac {(x - \\ mu) ^ {2}} {2 \\ sigma ^ {2}}} [/latex]. تشير المعلمات [اللاتكس] / mu و \\ sigma [/latex] إلى المتوسط والانحراف المعياري للسكان محل الاهتمام. عندما [اللاتكس] / mu=0 و \\ sigma=1 [/latex] ، يسمى التوزيع التوزيع الطبيعي القياسي.
يسمى هذا التوزيع عادي لأن معظم الظواهر الطبيعية تتبع التوزيع الطبيعي. على سبيل المثال ، يتم توزيع معدل الذكاء للسكان بشكل طبيعي.كما يتضح من الرسم البياني ، فهو أحادي النسق ، متماثل حول المتوسط وشكل الجرس. الوسط والوضع والوسيط متطابقان. تتوافق المنطقة الواقعة أسفل المنحنى مع جزء من السكان ، مما يفي بشرط معين.
أجزاء السكان في الفاصل الزمني [لاتكس] (\ mu - \\ sigma ، \\ mu + \\ sigma) [/latex] ، [latex] (\ mu - 2 \\ sigma ، \\ mu + 2 \\ sigma) [/لاتكس] ، [لاتكس] (\ mu - 3 \\ sigma ، \\ mu + 3 \\ sigma) [/لاتكس] حوالي 68.2٪ ، 95.6٪ و 99.8٪ على التوالي.
ما الفرق بين التوزيعات ذات الحدين والتوزيع العادي؟
- التوزيع ذو الحدين هو توزيع احتمالي منفصل بينما التوزيع الطبيعي هو توزيع مستمر.
- دالة الكتلة الاحتمالية للتوزيع ذي الحدين هي [لاتكس] B (n، p) / sim \\ binom {n} {k} p ^ {k} (1-p) ^ {(n-k) } [/لاتكس] ، بينما دالة كثافة الاحتمال للتوزيع الطبيعي هي [لاتكس] N (\ mu ، \\ sigma) / sim \\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi \\ sigma ^ {2}}} / e ^ {- \\ frac {(x - \\ mu) ^ {2}} {2 \\ sigma ^ {2}}} [/latex]
- التوزيع ذو الحدين مقارب للتوزيع الطبيعي في ظل ظروف معينة ولكن ليس العكس.
