دالة توزيع الاحتمالية مقابل دالة كثافة الاحتمال
الاحتمال هو احتمال وقوع حدث ما. هذه الفكرة شائعة جدًا ، ويتم استخدامها بشكل متكرر في الحياة اليومية عندما نقوم بتقييم فرصنا ومعاملاتنا والعديد من الأشياء الأخرى. يعد توسيع هذا المفهوم البسيط إلى مجموعة أكبر من الأحداث أكثر صعوبة بعض الشيء. على سبيل المثال ، لا يمكننا بسهولة معرفة فرص الفوز في اليانصيب ، لكن من الملائم ، والبديهي إلى حد ما ، أن نقول إن هناك احتمالًا لواحد من كل ستة أن نحصل على المركز السادس في رمي النرد.
عندما يزداد عدد الأحداث التي يمكن أن تحدث ، أو عندما يكون عدد الاحتمالات الفردية كبيرًا ، فإن فكرة الاحتمال البسيطة هذه تفشل. لذلك ، يجب إعطاؤها تعريفًا رياضيًا قويًا قبل التعامل مع المشكلات ذات التعقيد العالي.
عندما يكون عدد الأحداث التي يمكن أن تحدث في موقف واحد كبيرًا ، فمن المستحيل اعتبار كل حدث على حدة كما هو الحال في مثال إلقاء النرد. ومن ثم ، يتم تلخيص مجموعة الأحداث بأكملها من خلال تقديم مفهوم المتغير العشوائي. إنه متغير يمكنه تحمل قيم الأحداث المختلفة في هذا الموقف بالذات (أو مساحة العينة). يعطي معنى رياضي للأحداث البسيطة في الموقف ، والطريقة الرياضية لمعالجة الحدث. بتعبير أدق ، المتغير العشوائي هو دالة ذات قيمة حقيقية على عناصر مساحة العينة. يمكن أن تكون المتغيرات العشوائية إما منفصلة أو مستمرة. عادة ما يتم الإشارة إليها بالأحرف الكبيرة من الأبجدية الإنجليزية.
دالة توزيع الاحتمالات (أو ببساطة توزيع الاحتمالات) هي دالة تقوم بتعيين قيم الاحتمال لكل حدث ؛ بمعنى أنه يوفر علاقة باحتمالات القيم التي يمكن أن يأخذها المتغير العشوائي.يتم تعريف دالة التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المنفصلة.
دالة كثافة الاحتمال هي المكافئ لدالة التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المستمرة ، وتعطي احتمال وجود متغير عشوائي معين لتحمل قيمة معينة.
إذا كانت X متغير عشوائي منفصل ، فإن الوظيفة المعطاة كـ f (x)=P (X=x) لكل x داخل نطاق X تسمى دالة توزيع الاحتمالات. يمكن أن تعمل الوظيفة كدالة توزيع الاحتمالات إذا وفقط إذا كانت الوظيفة تفي بالشروط التالية.
1. و (س) ≥ 0
2. ∑ و (س)=1
الوظيفة f (x) التي يتم تحديدها عبر مجموعة الأرقام الحقيقية تسمى دالة كثافة الاحتمال للمتغير العشوائي المستمر X ، إذا وفقط إذا ،
P (a ≤ x ≤ b)=a∫bf (x) dx لأي ثوابت حقيقية a و b.
يجب أن تفي دالة كثافة الاحتمال بالشروط التالية أيضًا.
1. f (x) ≥ 0 لكل x:-< x < + ∞
2.-∞∫+ ∞f (x) dx=1
يتم استخدام كل من دالة توزيع الاحتمالات ودالة كثافة الاحتمال لتمثيل توزيع الاحتمالات على مساحة العينة. بشكل عام ، تسمى هذه التوزيعات الاحتمالية.
للنمذجة الإحصائية ، يتم اشتقاق دوال كثافة الاحتمال المعيارية ووظائف توزيع الاحتمالات. التوزيع الطبيعي والتوزيع العادي القياسي هما مثالان على التوزيعات الاحتمالية المستمرة. التوزيع ذو الحدين وتوزيع بواسون أمثلة على التوزيعات الاحتمالية المنفصلة.
ما هو الفرق بين التوزيع الاحتمالي ودالة كثافة الاحتمال؟
• دالة التوزيع الاحتمالي ودالة كثافة الاحتمال هي وظائف محددة عبر مساحة العينة ، لتعيين قيمة الاحتمال ذات الصلة لكل عنصر.
• يتم تحديد وظائف التوزيع الاحتمالي للمتغيرات العشوائية المنفصلة بينما يتم تحديد دالات كثافة الاحتمال للمتغيرات العشوائية المستمرة.
• توزيع القيم الاحتمالية (أي التوزيعات الاحتمالية) يتم تصويرها بشكل أفضل من خلال دالة كثافة الاحتمال ودالة توزيع الاحتمالات.
• يمكن تمثيل دالة التوزيع الاحتمالي كقيم في جدول ، لكن هذا غير ممكن لدالة كثافة الاحتمال لأن المتغير مستمر.
• عند الرسم ، تعطي دالة التوزيع الاحتمالي مخطط شريطي بينما تعطي دالة كثافة الاحتمال منحنى.
• يجب إضافة ارتفاع / طول أشرطة دالة التوزيع الاحتمالي إلى 1 بينما يجب إضافة المنطقة الواقعة أسفل منحنى دالة كثافة الاحتمال إلى 1.
• في كلتا الحالتين ، يجب أن تكون جميع قيم الوظيفة غير سالبة.
