الترابطي مقابل التبادلي
في حياتنا اليومية ، علينا استخدام الأرقام كلما احتجنا إلى قياس شيء ما. في محل البقالة ومحطة الوقود وحتى في المطبخ ، نحتاج إلى جمع وطرح ومضاعفة كميتين أو أكثر. من خلال ممارستنا ، نقوم بإجراء هذه الحسابات بسهولة تامة. لا نلاحظ أو نتساءل أبدًا عن سبب قيامنا بهذه العمليات بهذه الطريقة بالذات. أو لماذا لا يمكن إجراء هذه الحسابات بطريقة مختلفة. الجواب مخفي في طريقة تعريف هذه العمليات في المجال الرياضي للجبر.
في الجبر ، تُعرَّف العملية التي تنطوي على كميتين (مثل الجمع) على أنها عملية ثنائية.بتعبير أدق هي عملية بين عنصرين من مجموعة وتسمى هذه العناصر "المعامل". يمكن تعريف العديد من العمليات في الرياضيات بما في ذلك العمليات الحسابية المذكورة سابقًا وتلك التي تمت مواجهتها في نظرية المجموعات والجبر الخطي والمنطق الرياضي على أنها عمليات ثنائية.
هناك مجموعة من القواعد الحاكمة المتعلقة بعملية ثنائية معينة. الخصائص الترابطية والخصائص التبادلية هما خاصيتان أساسيتان للعمليات الثنائية.
المزيد حول الخاصية التبادلية
افترض أن بعض العمليات الثنائية ، التي يُشار إليها بالرمز ⊗ ، يتم إجراؤها على العنصرين A و B. إذا كان ترتيب المعاملات لا يؤثر على نتيجة العملية ، فيُقال إن العملية تبادلية. على سبيل المثال ، إذا كان A ⊗ B=B ⊗ A ، فإن العملية تبادلية.
عمليات الجمع والضرب الحسابية تبادلية. لا يؤثر ترتيب الأرقام المجمعة أو المضاعفة معًا على الإجابة النهائية:
أ + ب=ب + أ ⇒ 4 + 5=5 + 4=9
أ × ب=ب × أ ⇒ 4 × 5=5 × 4=20
لكن في حالة القسمة ، فإن التغيير في الترتيب يعطي مقلوب الآخر ، وفي الطرح التغيير يعطي سالب الآخر. لذلك ،
A - B ≠ B - A ⇒ 4-5=-1 و5-4=1
A ÷ B ≠ B ÷ A ⇒ 4 ÷ 5=0.8 و 5 ÷ 4=1.25 [في هذه الحالة A و B ≠ 1 و 0]
في الواقع ، يُقال أن الطرح مضاد للتبديل ؛ حيث أ - ب=- (ب - أ)
أيضًا ، الروابط المنطقية ، والترابط ، والفصل ، والتضمين ، والمعادل ، هي أيضًا تبادلية. وظائف الحقيقة هي أيضا تبادلية. اتحاد عمليات المجموعة والتقاطع تبادلي. الإضافة والمنتج القياسي للناقلات تبادلي أيضًا.
لكن الطرح المتجه والمنتج المتجه ليسا تبادليًا (المنتج المتجه لمتجهين هو مضاد للتبادل). إضافة المصفوفة تبادلية ، لكن الضرب والطرح ليسا تبادليين.(يمكن أن يكون مضاعفة المصفوفتين تبادليًا في حالات خاصة ، مثل مضاعفة المصفوفة بعكسها أو مصفوفة الهوية ؛ ولكن بالتأكيد لا تكون المصفوفات تبادلية إذا لم تكن المصفوفات من نفس الحجم)
المزيد حول الخاصية الترابطية
يُقال إن العملية الثنائية هي ارتباطية إذا كان ترتيب التنفيذ لا يؤثر على النتيجة عند وجود تكررين أو أكثر للمشغل. ضع في اعتبارك العناصر A و B و C والعملية الثنائية ⊗. يُقال أن العملية ترابطية إذا
A ⊗ B ⊗ C=A ⊗ (B ⊗ C)=(A ⊗ B) ⊗ C
من الدوال الحسابية الأساسية ، الجمع والضرب فقط هما الترابطية.
أ + (ب + ج)=(أ + ب) + ج 4 + (5 + 3)=(5 + 4) + 3=12
A × (B × C)=(A × B) × C ⇒ 4 × (5 × 3)=(5 × 4) × 3=60
الطرح والقسمة ليسا ترابطيين ؛
أ - (ب - ج) ≠ (أ - ب) - ج 4 - (5-3)=2 و (5-4) - 3=-2
A ÷ (B ÷ C) ≠ (A ÷ B) ÷ C ⇒ 4 ÷ (5 ÷ 3)=2.4 و (5 ÷ 4) ÷ 3=0.2666
وصلات الربط المنطقية ، والترابط ، والتكافؤ هي ترابطية ، وكذلك اتحاد وتقاطع العمليات المحددة. الجمع بين المصفوفة والمتجه مترابط. يكون المنتج القياسي للمتجهات ترابطيًا ، لكن المنتج المتجه ليس كذلك. إن عملية ضرب المصفوفة ترابطية فقط في ظل ظروف خاصة.
ما هو الفرق بين الملكية التبادلية والربطية؟
• كل من الخاصية الترابطية والممتلكات التبادلية هي خصائص خاصة للعمليات الثنائية ، وبعضها يرضيها والبعض الآخر لا.
• يمكن رؤية هذه الخصائص في العديد من أشكال العمليات الجبرية والعمليات الثنائية الأخرى في الرياضيات ، مثل التقاطع والاتحاد في نظرية المجموعة أو الروابط المنطقية.
• الفرق بين التبادل والجمع هو أن الخاصية التبادلية تنص على أن ترتيب العناصر لا يغير النتيجة النهائية بينما تنص الخاصية الترابطية على أن الترتيب الذي يتم تنفيذ العملية به لا يؤثر على الإجابة النهائية
