معادلة الفرق مقابل المعادلة التفاضلية
يمكن وصف ظاهرة طبيعية رياضيا من خلال وظائف عدد من المتغيرات والمعلمات المستقلة. خاصة عندما يتم التعبير عنها من خلال وظيفة الموقع المكاني والوقت ينتج عنها معادلات. قد تتغير الوظيفة مع التغيير في المتغيرات المستقلة أو المعلمات. يسمى التغيير المتناهي الصغر الذي يحدث في الوظيفة عند تغيير أحد متغيراتها بمشتق هذه الوظيفة.
المعادلة التفاضلية هي أي معادلة تحتوي على مشتقات دالة بالإضافة إلى الدالة نفسها.المعادلة التفاضلية البسيطة هي تلك الخاصة بقانون نيوتن الثاني للحركة. إذا كان جسم كتلته m يتحرك بعجلة "a" ويتم العمل عليه بالقوة F ، فإن قانون نيوتن الثاني يخبرنا أن F=ma. هنا مرة أخرى ، يختلف الحرف "أ" بمرور الوقت ، يمكننا إعادة كتابة "أ" على النحو التالي ؛ أ=dv / dt ؛ v هي السرعة. السرعة هي وظيفة المكان والزمان ، أي v=ds / dt ؛ لذلك "a"=d2s / dt2
بوضع هذه الأمور في الاعتبار ، يمكننا إعادة كتابة قانون نيوتن الثاني كمعادلة تفاضلية ؛
"F" كدالة لـ v و t - F (v، t)=mdv / dt ، أو
'F' كدالة لـ s و t - F (s ، ds / dt ، t)=m d2s / dt2
هناك نوعان من المعادلات التفاضلية ؛ معادلة تفاضلية عادية ، يُختصر بـ ODE أو معادلة تفاضلية جزئية ، يختصرها PDE. سيكون للمعادلة التفاضلية العادية مشتقات عادية (مشتقات متغير واحد فقط) فيها. سيكون للمعادلة التفاضلية الجزئية مشتقات تفاضلية (مشتقات أكثر من متغير واحد) فيها.
على سبيل المثال. F=m d2s / dt2هو ODE ، بينما α2d2u / dx2=du / dt هو PDE ، له مشتقات t و x.
معادلة الفرق هي نفسها المعادلة التفاضلية لكننا ننظر إليها في سياق مختلف. في المعادلات التفاضلية ، يتم اعتبار المتغير المستقل مثل الوقت في سياق نظام الوقت المستمر. في نظام الوقت المنفصل ، نسمي الدالة باسم معادلة الفرق.
معادلة الفرق هي دالة على الاختلافات. الاختلافات في المتغيرات المستقلة هي ثلاثة أنواع ؛ تسلسل عدد ونظام ديناميكي منفصل ووظيفة متكررة.
في تسلسل الأرقام ، يتم إنشاء التغيير بشكل متكرر باستخدام قاعدة لربط كل رقم في التسلسل بالأرقام السابقة في التسلسل.
معادلة الفرق في نظام ديناميكي منفصل تأخذ بعض إشارات الإدخال المنفصلة وتنتج إشارة خرج.
معادلة الفرق هي خريطة متكررة للدالة المتكررة.على سبيل المثال ، y0، f (y0) ، f (f (y0)) ، f (f (f (y0))) ،…. هو تسلسل دالة متكررة. f (y0) هو التكرار الأول لـ y0سيتم الإشارة إلى التكرار k بواسطة fk(y0 ).
