الأحداث الحصرية المتبادلة مقابل الأحداث المستقلة
غالبًا ما يخلط الناس بين مفهوم الأحداث المتنافية والأحداث المستقلة. في الواقع ، هذان شيئان مختلفان.
لنفترض أن A و B أي حدثين مرتبطين بتجربة عشوائية يسمى E. P (A) "احتمالية A". وبالمثل ، يمكننا تحديد احتمال B كـ P (B) ، واحتمال A أو B كـ P (A∪B) ، واحتمال A و B كـ P (A∩B). ثم P (A∪B)=P (A) + P (B) -P (A∩B).
ومع ذلك ، هناك حدثان يقال أنهما متنافيان إذا كان وقوع حدث واحد لا يؤثر على الآخر. بمعنى آخر ، لا يمكن أن تحدث في وقت واحد. لذلك ، إذا كان هناك حدثان A و B متنافيان ، فإن A∩B=∅ وبالتالي ، فهذا يعني P (A∪B)=P (A) + P (B).
لنفترض أن A و B حدثان في فضاء عينة S. يُشار إلى الاحتمال الشرطي لـ A ، بالنظر إلى حدوث B ، بالرمز P (A | B) ويتم تعريفه على أنه ؛ الفوسفور (A | B)=P (A∩B) / P (B) بشرط P (B) >0. (خلاف ذلك ، لم يتم تعريفه.)
يقال إن الحدث A مستقل عن الحدث B ، إذا كان احتمال حدوث A لا يتأثر بما إذا كان B قد حدث أم لا. بمعنى آخر ، ليس لنتيجة الحدث B أي تأثير على نتيجة الحدث A. لذلك ، P (A | B)=P (A). وبالمثل ، فإن B مستقلة عن A إذا كان P (B)=P (B | A). ومن ثم ، يمكننا أن نستنتج أنه إذا كان A و B حدثين مستقلين ، فإن P (A∩B)=P (A). P (B)
افترض أن مكعبًا مرقمًا قد دحرج وعملة عادلة انقلبت. لنفترض أن A هو الحدث الذي يكون فيه الحصول على الرأس و B هو الحدث الذي يتداول رقمًا زوجيًا. ثم يمكننا أن نستنتج أن الحدثين A و B مستقلان ، لأن نتيجة أحدهما لا تؤثر على نتيجة الآخر. لذلك ، P (A∩B)=P (A). P (B)=(1/2) (1/2)=1/4. نظرًا لأن P (A∩B) ≠ 0 ، لا يمكن أن يكون A و B متنافيين.
افترض أن الجرة تحتوي على 7 كرات من الرخام الأبيض و 8 كرات من الرخام الأسود. عرّف الحدث A على أنه رسم رخام أبيض والحدث B على أنه رسم رخام أسود. بافتراض أنه سيتم استبدال كل كرة رخامية بعد تدوين لونها ، فستظل P (A) و P (B) هي نفسها دائمًا ، بغض النظر عن عدد المرات التي نرسمها من الجرة. يعني استبدال الكرات أن الاحتمالات لا تتغير من سحب إلى آخر ، بغض النظر عن اللون الذي اخترناه في السحب الأخير. لذلك ، الحدث A و B مستقلان.
ومع ذلك ، إذا تم رسم الرخام بدون استبدال ، فإن كل شيء يتغير. في ظل هذا الافتراض ، فإن الأحداث A و B ليستا مستقلين. يؤدي رسم رخام أبيض في المرة الأولى إلى تغيير احتمالات رسم رخام أسود في السحب الثاني وهكذا. بمعنى آخر ، كل سحب له تأثير على السحب التالي ، وبالتالي فإن السحب الفردي ليس مستقلاً.
الفرق بين الأحداث المستقلة والحصرية المتبادلة
- يعني التفرد المتبادل للأحداث عدم وجود تداخل بين المجموعتين "أ" و "ب". استقلالية الأحداث تعني أن حدوث "أ" لا يؤثر على حدوث "ب".
- إذا كان هناك حدثان A و B متنافيان ، فإن P (A∩B)=0.
- إذا كان هناك حدثان A و B مستقلان ، فإن P (A∩B)=P (A). P (B)
