الوظيفة المنفصلة مقابل الوظيفة المستمرة
الوظائف هي واحدة من أهم فئات الكائنات الرياضية ، والتي تستخدم على نطاق واسع في جميع المجالات الفرعية للرياضيات تقريبًا. كما تشير أسمائهم إلى أن كلا من الدوال المنفصلة والوظائف المستمرة نوعان خاصان من الوظائف.
الوظيفة هي علاقة بين مجموعتين معرفتين بطريقة تجعل القيمة المقابلة لها في المجموعة الثانية فريدة من نوعها لكل عنصر في المجموعة الأولى. دع f تكون وظيفة محددة من المجموعة أ في المجموعة ب. ثم لكل x ϵ A ، يشير الرمز f (x) إلى القيمة الفريدة في المجموعة B التي تتوافق مع x.يطلق عليه صورة x تحت f. لذلك ، فإن العلاقة f من A إلى B هي دالة ، إذا وفقط إذا كانت لكل من xϵ A و y ϵ A ؛ إذا كانت x=y فإن f (x)=f (y). المجموعة أ تسمى مجال الوظيفة f ، وهي المجموعة التي يتم فيها تعريف الوظيفة.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك العلاقة f من R إلى R التي تحددها f (x)=x + 2 لكل x A. هذه دالة مجالها R ، كما هو الحال بالنسبة لكل عدد حقيقي x و y ، فإن x=y تعني f (x)=x + 2=y + 2=f (y). لكن العلاقة g من N إلى N التي تحددها g (x)=a ، حيث أن 'a' هي عوامل أولية لـ x ليست دالة كـ g (6)=3 ، وكذلك g (6)=2.
ما هي الوظيفة المنفصلة؟
الوظيفة المنفصلة هي دالة يكون مجالها قابلاً للعد على الأكثر. ببساطة ، هذا يعني أنه من الممكن عمل قائمة تتضمن جميع عناصر المجال.
أي مجموعة محدودة قابلة للعد على الأكثر. مجموعة الأعداد الطبيعية ومجموعة الأعداد المنطقية هي أمثلة على معظم المجموعات اللانهائية القابلة للعد.مجموعة الأعداد الحقيقية ومجموعة الأعداد غير النسبية ليست قابلة للعد على الإطلاق. كلا المجموعتين غير معدودة. هذا يعني أنه من المستحيل عمل قائمة تتضمن كل عناصر تلك المجموعات
واحدة من أكثر الوظائف المنفصلة شيوعًا هي دالة المضروب. f: N U {0} → N مُعرَّفة بشكل متكرر بواسطة f (n)=n f (n-1) لكل n ≥ 1 و f (0)=1 تسمى دالة مضروب. لاحظ أن مجالها N U {0} قابل للعد على الأكثر.
ما هي الوظيفة المستمرة؟
دع f وظيفة مثل كل k في مجال f ، f (x) → f (k) مثل x → k. ثم f هي دالة متصلة. هذا يعني أنه من الممكن جعل f (x) قريبة بشكل تعسفي من f (k) بجعل x قريبة بدرجة كافية من k لكل k في مجال f.
ضع في اعتبارك الوظيفة f (x)=x + 2 على R. ويمكن ملاحظة أن x → k، x + 2 → k + 2 أي f (x) → f (k). لذلك ، f هي دالة متصلة. الآن ، ضع في اعتبارك g على الأعداد الحقيقية الموجبة g (x)=1 إذا كانت x > 0 و g (x)=0 إذا كانت x=0.بعد ذلك ، هذه الوظيفة ليست دالة مستمرة لأن حد g (x) غير موجود (وبالتالي فهي لا تساوي g (0)) مثل x → 0.
ما الفرق بين الوظيفة المنفصلة والدالة المستمرة؟
• الوظيفة المنفصلة هي وظيفة يكون مجالها قابلاً للعد على الأكثر ولكن لا يلزم أن يكون هو الحال في الدوال المستمرة.
• جميع الوظائف المستمرة ƒ لها خاصية ƒ (x) → ƒ (k) مثل x → k لكل x ولكل k في مجال ƒ ، ولكن هذا ليس هو الحال في بعض الوظائف المنفصلة
