المعادلات التفاضلية الخطية مقابل غير الخطية
تُعرف المعادلة التي تحتوي على معامل تفاضلي واحد على الأقل أو مشتق من متغير غير معروف باسم المعادلة التفاضلية. يمكن أن تكون المعادلة التفاضلية إما خطية أو غير خطية. نطاق هذه المقالة هو شرح ما هي المعادلة التفاضلية الخطية ، ما هي المعادلة التفاضلية غير الخطية ، وما هو الفرق بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية.
منذ تطوير حساب التفاضل والتكامل في القرن الثامن عشر من قبل علماء الرياضيات مثل نيوتن ولايبنتز ، لعبت المعادلة التفاضلية دورًا مهمًا في قصة الرياضيات.المعادلات التفاضلية لها أهمية كبيرة في الرياضيات بسبب نطاق تطبيقاتها. تقع المعادلات التفاضلية في قلب كل نموذج نقوم بتطويره لشرح أي سيناريو أو حدث في العالم سواء كان في الفيزياء أو الهندسة أو الكيمياء أو الإحصاء أو التحليل المالي أو علم الأحياء (القائمة لا حصر لها). في الواقع ، حتى أصبح حساب التفاضل والتكامل نظرية راسخة ، لم تكن الأدوات الرياضية المناسبة متاحة لتحليل المشكلات المثيرة للاهتمام في الطبيعة.
قد تكون المعادلات الناتجة من تطبيق معين لحساب التفاضل والتكامل معقدة للغاية وأحيانًا غير قابلة للحل. ومع ذلك ، هناك بعض الأشياء التي يمكننا حلها ، ولكنها قد تبدو متشابهة ومربكة. لذلك ، لتسهيل التعرف على المعادلات التفاضلية يتم تصنيفها من خلال سلوكها الرياضي. الخطي وغير الخطي هو أحد هذه التصنيفات. من المهم تحديد الفرق بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية.
ما هي المعادلة التفاضلية الخطية؟
افترض أن f: X → Y و f (x)=y ، معادلة تفاضلية بدون شروط غير خطية للدالة غير المعروفة y ومشتقاتها تُعرف باسم المعادلة التفاضلية الخطية.
يفرض شرطًا ألا يكون لـ y مصطلحات مؤشر أعلى مثل y2، y3، … ومضاعفات المشتقات مثل كـ
لا يمكن أن تحتوي أيضًا على مصطلحات غير خطية مثل Sin y أو ey ^ -2أو ln y. يأخذ الشكل
حيث y و g هما دالتان في x. المعادلة معادلة تفاضلية من الرتبة n ، وهو مؤشر أعلى مشتق من الدرجة.
في المعادلة التفاضلية الخطية ، يكون العامل التفاضلي عامل تشغيل خطي وتشكل الحلول مساحة متجهية. نتيجة للطبيعة الخطية لمجموعة الحلول ، فإن المجموعة الخطية من الحلول هي أيضًا حل للمعادلة التفاضلية. بمعنى ، إذا كان y1و y2حلولًا للمعادلة التفاضلية ، فعندئذٍ C1y1+ C2y2هو أيضًا حل
خطية المعادلة هي معلمة واحدة فقط من التصنيف ، ويمكن تصنيفها أيضًا إلى معادلات تفاضلية متجانسة أو غير متجانسة وعادية أو جزئية.إذا كانت الدالة g=0 فإن المعادلة هي معادلة تفاضلية خطية متجانسة. إذا كانت f دالة لمتغيرين مستقلين أو أكثر (f: X ، T → Y) و f (x ، t)=y ، فإن المعادلة عبارة عن معادلة تفاضلية جزئية خطية.
تعتمد طريقة حل المعادلة التفاضلية على نوع ومعاملات المعادلة التفاضلية. تنشأ الحالة الأسهل عندما تكون المعاملات ثابتة. المثال الكلاسيكي لهذه الحالة هو قانون نيوتن الثاني للحركة وتطبيقاته المختلفة. ينتج قانون نيوتن الثاني معادلة تفاضلية خطية من الدرجة الثانية ذات معاملات ثابتة.
ما هي المعادلة التفاضلية غير الخطية؟
تُعرف المعادلات التي تحتوي على مصطلحات غير خطية بالمعادلات التفاضلية غير الخطية.
كل ما سبق هو معادلات تفاضلية غير خطية. يصعب حل المعادلات التفاضلية غير الخطية ، لذلك يلزم إجراء دراسة دقيقة للحصول على حل صحيح. في حالة المعادلات التفاضلية الجزئية ، فإن معظم المعادلات ليس لها حل عام. لذلك ، يجب التعامل مع كل معادلة بشكل مستقل.
معادلة نافييه-ستوكس ومعادلة أويلر في ديناميكيات الموائع ، معادلات أينشتاين الميدانية للنسبية العامة معادلات تفاضلية جزئية غير خطية معروفة جيدًا. في بعض الأحيان ، قد يؤدي تطبيق معادلة لاغرانج على نظام متغير إلى نظام من المعادلات التفاضلية الجزئية غير الخطية.
ما هو الفرق بين المعادلات التفاضلية الخطية وغير الخطية؟
• تُعرف المعادلة التفاضلية ، التي تحتوي فقط على المصطلحات الخطية للمتغير غير المعروف أو التابع ومشتقاته ، باسم المعادلة التفاضلية الخطية. ليس له مصطلح مع المتغير التابع للمؤشر أعلى من 1 ولا يحتوي على أي مضاعف من مشتقاته. لا يمكن أن تحتوي على وظائف غير خطية مثل الدوال المثلثية والدالة الأسية والوظائف اللوغاريتمية فيما يتعلق بالمتغير التابع. أي معادلة تفاضلية تحتوي على المصطلحات المذكورة أعلاه هي معادلة تفاضلية غير خطية.
• حلول المعادلات التفاضلية الخطية تخلق فضاء متجه والعامل التفاضلي هو أيضًا عامل تشغيل خطي في مساحة المتجه.
• حلول المعادلات التفاضلية الخطية أسهل نسبيًا وتوجد حلول عامة. بالنسبة للمعادلات غير الخطية ، في معظم الحالات ، لا يوجد حل عام وقد يكون الحل مشكلة محددة. هذا يجعل الحل أكثر صعوبة من المعادلات الخطية.
