المعادلة الخطية مقابل المعادلة غير الخطية
في الرياضيات ، المعادلات الجبرية هي معادلات يتم تشكيلها باستخدام كثيرات الحدود. عند كتابتها بشكل صريح ، ستكون المعادلات على الشكل P (x)=0 ، حيث x عبارة عن متجه لعدد n من المتغيرات غير المعروفة و P هي كثيرة الحدود. على سبيل المثال ، P (x، y)=4x5+ xy3+ y + 10=0 هي معادلة جبرية في متغيرين مكتوبين بشكل صريح. أيضا ، (س + ص)3=3x2y - 3zy4هي معادلة جبرية ، ولكن في شكل ضمني وسيأخذ الشكل Q (x، y، z)=x3+ y3+ 3xy2+ 3zy4=0 ، يكتب مرة واحدة صراحة.
من الخصائص المهمة للمعادلة الجبرية هي درجتها. يتم تعريفه على أنه أعلى قوة للمصطلحات التي تحدث في المعادلة. إذا كان المصطلح يتكون من متغيرين أو أكثر ، فسيتم اعتبار مجموع الأسس لكل متغير هو قوة المصطلح. لاحظ أنه وفقًا لهذا التعريف ، P (x ، y)=0 من الدرجة 5 ، بينما Q (x ، y ، z)=0 من الدرجة 5.
المعادلات الخطية والمعادلات غير الخطية عبارة عن قسمين محددين في مجموعة المعادلات الجبرية. درجة المعادلة هي العامل الذي يميزهم عن بعضهم البعض.
ما هي المعادلة الخطية؟
المعادلة الخطية هي معادلة جبرية من الدرجة 1. على سبيل المثال ، 4x + 5=0 هي معادلة خطية لمتغير واحد. x + y + 5z=0 و 4x=3w + 5y + 7z هما معادلات خطية لمتغيرين 3 و 4 على التوالي. بشكل عام ، ستأخذ المعادلة الخطية لمتغيرات n الشكل m1x1+ m2x2+… + mn-1xn-1+ mn xn=ب.هنا ، xiهي المتغيرات غير المعروفة ، miو b هي أرقام حقيقية حيث كل من miغير صفري.
تمثل هذه المعادلة مستويًا مفرطًا في الفضاء الإقليدي ذي البعد n. على وجه الخصوص ، تمثل المعادلتان الخطيتان المتغيرتان خطًا مستقيمًا في المستوى الديكارتي وتمثل المعادلة الخطية الثلاثة المتغيرة مستوى على مسافة 3 الإقليدية.
ما هي المعادلة غير الخطية؟
المعادلة التربيعية هي معادلة جبرية وليست خطية. بمعنى آخر ، المعادلة غير الخطية هي معادلة جبرية من الدرجة 2 أو أعلى. x2+ 3x + 2=0 هي معادلة غير خطية متغيرة واحدة. x2+ y3+ 3xy=4 و 8yzx2+ y2+ 2z2+ x + y + z=4 أمثلة على المعادلات غير الخطية لمتغيرات 3 و 4 على التوالي.
المعادلة اللاخطية من الدرجة الثانية تسمى المعادلة التربيعية. إذا كانت الدرجة 3 ، فإنها تسمى معادلة تكعيبية.تسمى معادلات الدرجة 4 والدرجة 5 المعادلات الرباعية والخماسية على التوالي. لقد ثبت أنه لا توجد طريقة تحليلية لحل أي معادلة غير خطية من الدرجة 5 ، وهذا صحيح بالنسبة لأي درجة أعلى أيضًا. المعادلات غير الخطية القابلة للحل تمثل الأسطح الفائقة التي ليست طائرات مفرطة.
ما هو الفرق بين المعادلة الخطية والمعادلة غير الخطية؟
• المعادلة الخطية هي معادلة جبرية من الدرجة 1 ، لكن المعادلة غير الخطية هي معادلة جبرية من الدرجة 2 أو أعلى.
• على الرغم من أن أي معادلة خطية قابلة للحل من الناحية التحليلية ، فإن هذا ليس هو الحال في المعادلات غير الخطية.
• في الفضاء الإقليدي ذي البعد n ، يكون فضاء الحل لمعادلة خطية متغيرة n عبارة عن مستوى مرتفع ، في حين أن مساحة حل المعادلة غير الخطية المتغيرة n هي سطح مفرط ، وهو ليس مستوى مرتفعًا. (الرباعية ، الأسطح المكعبة وما إلى ذلك)
