مشتق مقابل تكامل
التفاضل والتكامل عمليتان أساسيتان في حساب التفاضل والتكامل. لديهم العديد من التطبيقات في العديد من المجالات ، مثل الرياضيات والهندسة والفيزياء. يناقش كل من المشتق والتكامل سلوك وظيفة أو سلوك كيان مادي نهتم به.
ما هو المشتق؟
افترض أن y=ƒ (x) و x0في مجال ƒ. ثم limΔx → ∞Δy / Δx=limΔx → ∞[ƒ (x 0+ Δx) - ƒ (x0 )] / Δx يسمى معدل التغيير الفوري ƒ عند x0، بشرط أن يكون هذا الحد موجودًا بشكل نهائي.يسمى هذا الحد أيضًا بمشتق عند ويُرمز إليه بـ ƒ (x).
قيمة مشتق الدالة f عند نقطة عشوائية x في مجال الوظيفة تعطى بواسطة limΔx → ∞[ƒ (x + Δx) - ƒ (x)] / Δx. يُشار إلى هذا بأي من التعبيرات التالية: y، ƒ (x)، ƒ، dƒ (x) / dx، dƒ / dx، Dxy.
للدوال ذات المتغيرات المتعددة ، نحدد المشتق الجزئي. المشتق الجزئي لدالة ذات متغيرات متعددة هو مشتقها فيما يتعلق بأحد تلك المتغيرات ، على افتراض أن المتغيرات الأخرى هي ثوابت. رمز المشتق الجزئي هو ∂
هندسيًا يمكن تفسير مشتق الدالة على أنه ميل منحنى الوظيفة ƒ (x).
ما هو التكامل؟
التكامل أو عدم التمايز هو عملية عكسية للتمايز. بمعنى آخر ، إنها عملية إيجاد وظيفة أصلية عند إعطاء مشتق الوظيفة.لذلك ، يمكن تعريف تكامل أو مضاد مشتق للدالة ƒ (x) إذا ، ƒ (x)=F (x) على أنها الوظيفة F (x) ، لجميع x في مجال ƒ (x).
يشير التعبير ∫ƒ (x) dx إلى مشتق الوظيفة ƒ (x). إذا كانت ƒ (x)=F (x) ، فإن ∫ƒ (x) dx=F (x) + C ، حيث C ثابت ، ∫ƒ (x) dx يسمى التكامل غير المحدد لـ ƒ (x).
لأي دالة ƒ ، والتي ليست بالضرورة غير سالبة ، ومحددة على الفاصل الزمني [أ ، ب] ،أ∫بƒ (x) dx يسمى التكامل المحدد ƒ على [أ ، ب].
التكامل المحددa∫bƒ (x) dx لوظيفة ƒ (x) يمكن تفسيرها هندسيًا على أنها منطقة المنطقة التي يحدها المنحنى ƒ (x) والمحور x والخطوط x=a و x=b.
ما الفرق بين المشتق والتكامل؟
• المشتق هو نتيجة تمايز العملية ، بينما التكامل هو نتيجة تكامل العملية.
• يمثل مشتق دالة ميل المنحنى عند أي نقطة معينة ، بينما يمثل التكامل المنطقة الواقعة أسفل المنحنى.
