المشتق مقابل التفاضل
في حساب التفاضل والتكامل ، ترتبط المشتقات والتفاضل للدالة ارتباطًا وثيقًا ولكن لها معاني مختلفة جدًا ، وتستخدم لتمثيل كائنين رياضيين مهمين متعلقين بوظائف قابلة للتفاضل.
ما هو المشتق؟
مشتق من دالة يقيس المعدل الذي تتغير فيه قيمة الوظيفة مع تغير مدخلاتها. في الوظائف متعددة المتغيرات ، يعتمد التغيير في قيمة الوظيفة على اتجاه تغيير قيم المتغيرات المستقلة. لذلك ، في مثل هذه الحالات ، يتم اختيار اتجاه محدد ويتم تمييز الوظيفة في هذا الاتجاه المعين.هذا المشتق يسمى مشتق الاتجاه. المشتقات الجزئية هي نوع خاص من المشتقات الاتجاهية.
مشتق من دالة ذات قيمة متجه f يمكن تعريفه على أنه الحد [اللاتكس] / frac {df} {d \\ boldsymbol {u}}=\\ lim_ {h / to 0} / frac {f (\ boldsymbol {x} + h \\ boldsymbol {u}) - f (\ boldsymbol {x})} {h} [/اللاتكس] أينما وجدت بشكل نهائي. كما ذكرنا سابقًا ، هذا يعطينا معدل زيادة الدالة f على طول اتجاه المتجه u. في حالة الدالة أحادية القيمة ، يتم تقليل هذا إلى التعريف المعروف للمشتق ، [اللاتكس] / frac {df} {dx}=\\ lim_ {h \\ to 0} / frac {f (x + h) -f (x)} {h} [/اللاتكس]
على سبيل المثال ، [latex] f (x)=x ^ {3} + 4x + 5 [/latex] قابل للتفاضل في كل مكان ، والمشتق يساوي الحد ، [latex] / lim_ {h \\ to 0} / frac {(x + h) ^ {3} +4 (x + h) + 5- (x ^ {3} + 4x + 5)} {h} [/latex] ، وهو يساوي [اللاتكس] 3x ^ {2} +4 [/اللاتكس]. توجد مشتقات الدوال مثل [اللاتكس] e ^ {x} و \\ sin x و \\ cos x [/latex] في كل مكان. إنها تساوي على التوالي الدوال [لاتكس] e ^ {x} ، \\ cos x ، - \\ sin x [/latex].
يُعرف هذا باسم المشتق الأول. عادةً ما يتم الإشارة إلى المشتق الأول للدالة f بواسطة f(1)الآن باستخدام هذا الترميز ، من الممكن تحديد المشتقات ذات الترتيب الأعلى. [لاتكس] / frac {d ^ {2} f} {dx ^ {2}}=\\ lim_ {h \\ to 0} / frac {f ^ {(1)} (x + h) -f ^ {(1)} (x)} {h} [/latex] هو مشتق اتجاهي من الدرجة الثانية ، ويشير إلى مشتق nthبواسطة f(n)لكل n ، [اللاتكس] / frac {d ^ {n} f} {dx ^ {n}}=\\ lim_ {h \\ to 0} / frac {f ^ {(n -1)} (x + h) -f ^ {(n-1)} (x)} {h} [/latex] ، يحدد المشتق nth.
ما هو التفاضل؟
التفاضل للدالة يمثل التغيير في الوظيفة فيما يتعلق بالتغيرات في المتغير المستقل أو المتغيرات. في الترميز المعتاد ، لدالة معينة f لمتغير واحد x ، يتم إعطاء الفرق الكلي للترتيب 1 df بواسطة [latex] df=f ^ {1} (x) dx [/latex]. هذا يعني أنه بالنسبة للتغيير اللامتناهي في x (أي d x) ، سيكون هناك تغيير f(1)(x) d x في f.
باستخدام الحدود يمكن للمرء أن ينتهي بهذا التعريف على النحو التالي. افترض أن ∆ x هو التغيير في x عند نقطة عشوائية x و ∆ f هو التغيير المقابل في الدالة f. يمكن إظهار أن ∆ f=f(1)(x) ∆ x + ϵ ، حيث ϵ هي الخطأ. الآن ، الحد ∆ x → 0∆ f/∆ x=f(1)(x) (باستخدام التعريف المذكور سابقًا للمشتق) وبالتالي ، ∆ x → 0ϵ/∆ x=0. لذلك ، من الممكن أن استنتج أن ∆ x → 0 ϵ=0. الآن ، الإشارة إلى ∆ x → 0 ∆ f كـ d f و ∆ x → 0 ∆ x كـ d x يتم الحصول على تعريف التفاضل بدقة.
على سبيل المثال ، تفاضل الوظيفة [اللاتكس] f (x)=x ^ {3} + 4x + 5 [/latex] هو [اللاتكس] (3x ^ {2} +4) dx [/لاتكس].
في حالة دوال متغيرين أو أكثر ، يتم تعريف التفاضل الكلي للدالة على أنه مجموع الفروق في اتجاهات كل من المتغيرات المستقلة. رياضياً ، يمكن ذكرها على أنها [لاتكس] df=\\ sum_ {i=1} ^ {n} / frac {\ جزئي f} {\ جزئي x_ {i}} dx_ {i} [/latex].
ما الفرق بين المشتق والتفاضل؟
• المشتق يشير إلى معدل تغيير الوظيفة بينما يشير التفاضل إلى التغيير الفعلي للوظيفة ، عندما يتعرض المتغير المستقل للتغيير.
• المشتق مُعطى بواسطة [اللاتكس] / frac {df} {dx}=\\ lim_ {h / to 0} / frac {f (x + h) -f (x)} { h} [/latex] ، ولكن يتم إعطاء الفرق بواسطة [latex] df=f ^ {1} (x) dx [/latex].
