المتغيرات العشوائية مقابل التوزيع الاحتمالي
التجارب الإحصائية هي تجارب عشوائية يمكن تكرارها إلى أجل غير مسمى مع مجموعة معروفة من النتائج. ترتبط كل من المتغيرات العشوائية والتوزيعات الاحتمالية بمثل هذه التجارب. لكل متغير عشوائي ، هناك توزيع احتمالي مرتبط محدد بواسطة دالة تسمى دالة التوزيع التراكمي.
ما هو المتغير العشوائي؟
المتغير العشوائي هو دالة تقوم بتعيين قيم عددية لنتائج تجربة إحصائية. بمعنى آخر ، إنها وظيفة محددة من مساحة العينة لتجربة إحصائية في مجموعة الأرقام الحقيقية.
على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك تجربة عشوائية لقلب عملة معدنية مرتين. النتائج المحتملة هي HH و HT و TH و TT (H - heads، T - Tales). اجعل المتغير X هو عدد الرؤوس التي لوحظت في التجربة. بعد ذلك ، يمكن أن تأخذ X القيم 0 أو 1 أو 2 ، وهي متغير عشوائي. هنا ، المتغير العشوائي X سيعين المجموعة S={HH ، HT ، TH ، TT} (مساحة العينة) للمجموعة {0 ، 1 ، 2} بطريقة يتم تعيين HH إلى 2 و HT و TH يتم تعيينها إلى 1 ويتم تعيين TT إلى 0. في تدوين الوظيفة ، يمكن كتابة هذا كـ ، X: S → R حيث X (HH)=2 ، X (HT)=1 ، X (TH)=1 و X (TT)=0.
هناك نوعان من المتغيرات العشوائية: منفصل ومستمر ، وبالتالي فإن عدد القيم المحتملة التي يمكن أن يفترضها المتغير العشوائي يمكن عدها على الأكثر أم لا. في المثال السابق ، المتغير العشوائي X هو متغير عشوائي منفصل لأن {0 ، 1 ، 2} مجموعة محدودة. الآن ، ضع في اعتبارك التجربة الإحصائية لإيجاد أوزان الطلاب في الفصل. دع Y هو المتغير العشوائي المحدد على أنه وزن الطالب.يمكن أن تأخذ Y أي قيمة حقيقية خلال فترة زمنية محددة. ومن ثم ، Y هو متغير عشوائي مستمر.
ما هو التوزيع الاحتمالي؟
التوزيع الاحتمالي هو دالة تصف احتمالية أن يأخذ متغير عشوائي قيمًا معينة.
يمكن تعريف دالة تسمى دالة التوزيع التراكمي (F) من مجموعة الأرقام الحقيقية إلى مجموعة الأرقام الحقيقية مثل F (x)=P (X ≤ x) (احتمال X أقل من أو يساوي x) لكل نتيجة محتملة x. الآن يمكن كتابة دالة التوزيع التراكمي لـ X في المثال الأول كـ F (a)=0 ، إذا كان a<0 ؛ F (a)=0.25 ، إذا كانت 0≤a<1 ؛ F (a)=0.75 ، إذا كان 1≤a<2 و F (a)=1 ، إذا a≥2.
في حالة المتغيرات العشوائية المنفصلة ، يمكن تعريف دالة من مجموعة النتائج المحتملة إلى مجموعة الأعداد الحقيقية بطريقة ƒ (x)=P (X=x) (احتمال X تساوي x) لكل نتيجة محتملة x. هذه الوظيفة الخاصة ƒ تسمى دالة الكتلة الاحتمالية للمتغير العشوائي X.الآن يمكن كتابة دالة الكتلة الاحتمالية لـ X في المثال الأول المحدد كـ ƒ (0)=0.25 ، ƒ (1)=0.5 ، ƒ (2)=0.25 ، و ƒ (x)=0 خلاف ذلك. وبالتالي ، فإن دالة كتلة الاحتمال مع دالة التوزيع التراكمي ستصف التوزيع الاحتمالي لـ X في المثال الأول.
في حالة المتغيرات العشوائية المستمرة ، يمكن تعريف دالة تسمى دالة كثافة الاحتمال (ƒ) على أنها ƒ (x)=dF (x) / dx لكل x حيث F هي دالة التوزيع التراكمي لـ متغير عشوائي مستمر. من السهل أن نرى أن هذه الوظيفة تحقق ∫ƒ (x) dx=1. تصف دالة كثافة الاحتمال جنبًا إلى جنب مع دالة التوزيع التراكمي التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي مستمر. على سبيل المثال ، يتم وصف التوزيع الطبيعي (وهو توزيع احتمالي مستمر) باستخدام دالة كثافة الاحتمال ƒ (x)=1 / √ (2πσ2) e ^ ([(x- µ)]2/ (2σ2))
ما هو الفرق بين المتغيرات العشوائية والتوزيع الاحتمالي؟
• المتغير العشوائي هو دالة تربط قيم مساحة العينة برقم حقيقي.
• التوزيع الاحتمالي هو دالة تربط القيم التي يمكن أن يأخذها متغير عشوائي باحتمالية الحدوث ذات الصلة.
