الفرق بين التكامل والتفاضل

2024 مؤلف: Alex Aldridge | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 13:32

التكامل مقابل التمايز

التكامل والتفاضل مفهومان أساسيان في حساب التفاضل والتكامل ، والذي يدرس التغيير. يحتوي حساب التفاضل والتكامل على مجموعة متنوعة من التطبيقات في العديد من المجالات مثل العلوم والاقتصاد أو التمويل والهندسة وما إلى ذلك.

تمايز

التفاضل هو الإجراء الجبري لحساب المشتقات. مشتق الدالة هو ميل أو انحدار المنحنى (الرسم البياني) عند أي نقطة معينة. انحدار المنحنى عند أي نقطة معينة هو تدرج الظل المرسوم لهذا المنحنى عند نقطة معينة. بالنسبة للمنحنيات غير الخطية ، يمكن أن يختلف تدرج المنحنى عند نقاط مختلفة على طول المحور.لذلك ، من الصعب حساب الانحدار أو الميل عند أي نقطة. عملية التمايز مفيدة في حساب انحدار المنحنى عند أي نقطة.

تعريف آخر للمشتق هو ، "تغيير خاصية فيما يتعلق بتغيير وحدة لخاصية أخرى."

اجعل f (x) دالة لمتغير مستقل x. إذا حدث تغيير صغير (∆x) في المتغير المستقل x ، فإن التغيير المقابل ∆f (x) يحدث في الوظيفة f (x) ؛ ثم النسبة ∆f (x) / ∆x هي مقياس لمعدل تغير f (x) ، بالنسبة إلى x. القيمة الحدية لهذه النسبة ، حيث تميل ∆x إلى الصفر ، تسمى lim_{∆x → 0(f (x) / ∆x) بالمشتق الأول للدالة f (x) ، فيما يتعلق x ؛ بمعنى آخر ، التغيير الفوري لـ f (x) عند نقطة معينة x.}

التكامل

التكامل هو عملية حساب تكامل محدد أو تكامل غير محدد. لوظيفة حقيقية f (x) وفاصل زمني مغلق [a، b] على الخط الحقيقي ، التكامل المحدد_a∫^{bf (x) ، على أنها المنطقة الواقعة بين الرسم البياني للوظيفة ، والمحور الأفقي والخطين الرأسيين عند نقاط نهاية الفترة.عندما لا يتم إعطاء فاصل زمني محدد ، فإنه يُعرف باسم التكامل غير المحدود. يمكن حساب تكامل محدد باستخدام المشتقات.}

ما الفرق بين التكامل والتفاضل؟

الاختلاف بين التكامل والتفاضل هو نوع من الاختلاف بين "التربيع" و "أخذ الجذر التربيعي". إذا قمنا بتربيع عدد موجب ثم أخذنا الجذر التربيعي للنتيجة ، فإن قيمة الجذر التربيعي الموجب ستكون العدد الذي تربيعه. وبالمثل ، إذا قمت بتطبيق التكامل على النتيجة ، التي حصلت عليها من خلال تمييز دالة مستمرة f (x) ، فسوف تعود إلى الوظيفة الأصلية والعكس صحيح.

على سبيل المثال ، اجعل F (x) تكاملًا للدالة f (x)=x ، لذلك ، F (x)=∫f (x) dx=(x^{2/ 2) + c ، حيث c ثابت اعتباطي. عند التفريق بين F (x) بالنسبة إلى x نحصل على F '(x)=dF (x) / dx=(2x / 2) + 0=x ، لذلك فإن مشتق F (x) يساوي f (خ).}

ملخص

- التمايز يحسب ميل المنحنى ، بينما التكامل يحسب المنطقة تحت المنحنى.

- التكامل هو عملية التفاضل العكسية والعكس صحيح.