متعامد مقابل متعامد
في الرياضيات ، كثيرًا ما يتم استخدام الكلمتين المتعامد والمتعامد جنبًا إلى جنب مع مجموعة من المتجهات. هنا ، يتم استخدام مصطلح "المتجه" بمعنى أنه عنصر من الفضاء المتجه - بنية جبرية تستخدم في الجبر الخطي. لمناقشتنا ، سننظر في مساحة المنتج الداخلي - مساحة متجه V جنبًا إلى جنب مع منتج داخلي محدد في V.
كمثال ، بالنسبة لمنتج داخلي ، المساحة هي مجموعة جميع متجهات الموضع ثلاثية الأبعاد جنبًا إلى جنب مع المنتج النقطي المعتاد.
ما هو المتعامد؟
مجموعة فرعية غير فارغة S لمساحة المنتج الداخلية V يُقال إنها متعامدة ، إذا وفقط إذا كانت لكل حرف u مميز ، v في S ، [u ، v]=0 ؛ أي أن المنتج الداخلي لـ u و v يساوي الصفر القياسي في مساحة المنتج الداخلية.
على سبيل المثال ، في مجموعة جميع متجهات المواضع ثلاثية الأبعاد ، يكون هذا مكافئًا للقول أنه بالنسبة لكل زوج متميز من متجهات الموضع ، p و q في S ، p و q متعامدة مع بعضها البعض. (تذكر أن المنتج الداخلي في مساحة المتجه هذا هو حاصل الضرب النقطي. أيضًا ، حاصل الضرب النقطي لمتجهين يساوي 0 إذا وفقط إذا كان المتجهان متعامدين مع بعضهما البعض.)
ضع في اعتبارك المجموعة S={(0 ، 2 ، 0) ، (4 ، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 5)} ، وهي مجموعة فرعية من متجهات الموقع ثلاثية الأبعاد. لاحظ أن (0، 2، 0). (4، 0، 0)=0، (4، 0، 0). (0، 0، 5)=0 & (0، 2، 0). (0، 0) ، 5)=0. ومن ثم ، فإن المجموعة S متعامدة. على وجه الخصوص ، يُقال إن متجهين متعامدين إذا كان ناتجهما الداخلي هو 0. لذلك ، كل زوج من المتجهات في Sis المتعامد.
ما هو orthonormal؟
مجموعة فرعية غير فارغة S لمساحة المنتج الداخلية V يُقال إنها متعامدة إذا وفقط إذا كانت S متعامدة ولكل متجه u في S ، [u ، u]=1. لذلك ، يمكن ملاحظة ذلك كل مجموعة متعامدة متعامدة ولكن ليس العكس.
على سبيل المثال ، في مجموعة جميع متجهات المواضع ثلاثية الأبعاد ، يكون هذا مكافئًا للقول أنه بالنسبة لكل زوج متميز من متجهات الموضع ، p و q في S ، p و q متعامدة مع بعضها البعض ، ول كل ص في S ، | p |=1. هذا لأن الشرط [p، p]=1 يتقلص إلى p.p=| p || p | cos0=| p |2=1 ، وهو ما يعادل | p |=1. لذلك ، بالنظر إلى مجموعة متعامدة ، يمكننا دائمًا تكوين مجموعة متعامدة مقابلة عن طريق قسمة كل متجه على حجمه.
T={(0 ، 1 ، 0) ، (1 ، 0 ، 0) ، (0 ، 0 ، 1)} هي مجموعة فرعية متعامدة من مجموعة متجهات الموقع ثلاثية الأبعاد. من السهل أن نرى أنه تم الحصول عليها بقسمة كل من المتجهات في المجموعة S ، على مقاديرها.
ما الفرق بين المتعامد و المتعامد؟
- مجموعة فرعية غير فارغة S لمساحة المنتج الداخلية V يُقال إنها متعامدة ، إذا وفقط إذا كانت لكل حرف u مميز ، v في S ، [u ، v]=0. ومع ذلك ، فهي متعامدة ، إذا و فقط إذا كان هناك شرط إضافي - لكل متجه u في S ، [u ، u]=1 مستوفى.
- أي مجموعة متعامدة متعامدة ولكن ليس العكس.
- أي مجموعة متعامدة تتوافق مع مجموعة متعامدة فريدة ولكن المجموعة المتعامدة قد تتوافق مع العديد من المجموعات المتعامدة.
