الفرق بين التكامل والجمع

2024 مؤلف: Alex Aldridge | [email protected]. آخر تعديل: 2023-12-17 13:32

التكامل مقابل الجمع

في رياضيات المدرسة الثانوية أعلاه ، غالبًا ما يوجد التكامل والتجميع في العمليات الرياضية. يبدو أنها تستخدم كأدوات مختلفة وفي مواقف مختلفة ، لكنهم يشتركون في علاقة وثيقة جدًا.

المزيد حول الجمع

الجمع هو عملية إضافة سلسلة من الأرقام وغالبا ما يتم الإشارة إلى العملية بالحرف اليوناني الكبير سيجما Σ. يتم استخدامه لاختصار الجمع ويساوي مجموع / إجمالي التسلسل. غالبًا ما تستخدم لتمثيل السلسلة ، والتي هي في الأساس تسلسلات لا نهائية تلخيصها.يمكن استخدامها أيضًا للإشارة إلى مجموع المتجهات أو المصفوفات أو كثيرات الحدود.

عادة ما يتم الجمع لمجموعة من القيم التي يمكن تمثيلها بمصطلح عام ، مثل سلسلة لها مصطلح مشترك. تُعرف نقطة البداية ونقطة نهاية الجمع بالحد الأدنى والحد الأعلى للتجميع ، على التوالي.

على سبيل المثال ، مجموع التسلسل أ₁، أ₂، أ₃، أ₄،… ، a_nهو₁+ a₂+ a₃+… + a_nوالتي يمكن تمثيلها بسهولة باستخدام تدوين الجمع كـ ∑_أنا=1a_{i؛ أنا يسمى فهرس الجمع}

يتم استخدام العديد من الاختلافات للتجميع بناءً على التطبيق. في بعض الحالات ، يمكن إعطاء الحد الأعلى والحد الأدنى كفاصل زمني أو نطاق ، مثل ∑_1≤i≤100a_iو ∑_{i∈ [1 ، 100]}a_iأو يمكن إعطاؤها كمجموعة من الأرقام مثل ∑_i∈Pa_{i، حيث P هي مجموعة محددة.}

في بعض الحالات ، يمكن استخدام علامتي سيجما أو أكثر ، ولكن يمكن تعميمها على النحو التالي ؛ ∑_j∑_ka_jk=∑_{j ، k}a_jk.

أيضًا ، يتبع الجمع العديد من القواعد الجبرية. نظرًا لأن العملية المضمنة هي الإضافة ، يمكن تطبيق العديد من القواعد العامة للجبر على المجاميع نفسها وعلى المصطلحات الفردية التي يصورها الجمع.

المزيد عن التكامل

يتم تعريف التكامل على أنه عملية عكسية للتمايز. ولكن من وجهة نظرها الهندسية ، يمكن اعتبارها أيضًا المنطقة المحاطة بمنحنى الوظيفة والمحور. لذلك ، فإن حساب المنطقة يعطي قيمة تكامل محدد كما هو موضح في الرسم التخطيطي

مصدر الصورة:

قيمة التكامل المحدد هي في الواقع مجموع الشرائط الصغيرة داخل المنحنى والمحور. مساحة كل شريط هي الارتفاع × العرض عند النقطة على المحور المعين. العرض قيمة يمكننا اختيارها ، لنقل ∆x. والارتفاع هو تقريبًا قيمة الدالة عند النقطة المدروسة ، لنقل f (x_{i). من الرسم التخطيطي ، من الواضح أنه كلما كانت الشرائط أصغر حجمًا كانت الشرائط مناسبة داخل المنطقة المحددة ، وبالتالي يكون تقريب القيمة أفضل.}

لذلك ، بشكل عام ، يمكن إعطاء التكامل المحدد I ، بين النقطتين أ و ب (أي في الفترة [أ ، ب] حيث a<b) ، على النحو التالي I ≅ f (x_{1) ∆x + f (x}2 _{) ∆x + ⋯ + f (x}n _{) ∆x ، حيث n هو عدد الشرائط (ن=(ب أ) / ∆x). يمكن تمثيل مجموع المنطقة هذا بسهولة باستخدام تدوين الجمع لأنني ≅ ∑}i=1_{f (x}i) ∆x.نظرًا لأن التقريب أفضل عندما تكون ∆x أصغر ، يمكننا حساب القيمة عندما ∆x → 0. لذلك ، من المعقول أن نقول أنا=lim_{∆x → 0}∑ⁱ⁼¹f (x_i) ∆x.

كتعميم من المفهوم أعلاه ، يمكننا اختيار ∆x بناءً على الفاصل الزمني المدروس المفهرس بواسطة i (اختيار عرض المنطقة بناءً على الموضع). ثم نحصل على

I=lim_{∆x → 0}∑_i=1f (x i _{) ∆x}i₌a_∫b^{f (x) dx}

يُعرف هذا باسم Reimann Integral للوظيفة f (x) في الفترة [أ ، ب]. في هذه الحالة ، يُعرف كل من a و b بالحد الأعلى والحد الأدنى للتكامل. تكامل Reimann هو الشكل الأساسي لجميع طرق التكامل.

في جوهرها ، التكامل هو مجموع المنطقة عندما يكون عرض المستطيل متناهي الصغر.

ما الفرق بين التكامل والتجميع؟

• التجميع هو جمع سلسلة من الأرقام. عادة ، يتم إعطاء الجمع في هذا النموذج ∑_i=1a_{iعندما تكون المصطلحات في التسلسل لها نمط ويمكن التعبير عنها باستخدام مصطلح عام.}

• التكامل هو في الأساس المنطقة التي يحدها منحنى الوظيفة والمحور والحدود العليا والسفلى. يمكن إعطاء هذه المنطقة كمجموع مناطق أصغر بكثير متضمنة في المنطقة المحددة.

• يتضمن التجميع القيم المنفصلة مع الحدود العليا والسفلى ، بينما يتضمن التكامل قيمًا مستمرة.

• يمكن تفسير التكامل على أنه شكل خاص من أشكال الجمع.

• في طرق الحساب العددي ، يتم إجراء التكامل دائمًا كجمع.