محدد مقابل التكاملات غير المحددة
حساب التفاضل والتكامل هو فرع مهم من فروع الرياضيات ، ويلعب التفاضل دورًا مهمًا في حساب التفاضل والتكامل. تُعرف العملية العكسية للتفاضل بالتكامل ، ويُعرف المعكوس بالتكامل ، أو ببساطة ، يعطي معكوس التفاضل التكامل. بناءً على النتائج التي تنتجها ، يتم تقسيم التكاملات إلى فئتين ؛ تكاملات محددة وغير محددة.
المزيد حول التكاملات غير المحددة
التكامل غير المحدد هو شكل عام للتكامل ، ويمكن تفسيره على أنه مضاد مشتق للوظيفة المدروسة.افترض أن اشتقاق F يعطي f ، وأن تكامل f يعطي التكامل. غالبًا ما يتم كتابتها كـ F (x)=∫ƒ (x) dx أو F=∫ƒ dx حيث أن كل من F و هما دالات x ، و F قابلة للتفاضل. في النموذج أعلاه ، يُطلق عليه تكامل Reimann ويصاحب الوظيفة الناتجة ثابتًا تعسفيًا. غالبًا ما ينتج التكامل غير المحدد مجموعة من الوظائف ؛ لذلك ، التكامل غير محدد.
عمليات التكامل والتكامل هي جوهر حل المعادلات التفاضلية. ومع ذلك ، على عكس التفاضل ، فإن التكامل لا يتبع روتينًا واضحًا وقياسيًا دائمًا ؛ في بعض الأحيان ، لا يمكن التعبير عن الحل صراحة من حيث الوظيفة الأولية. في هذه الحالة ، غالبًا ما يتم تقديم الحل التحليلي في شكل تكامل غير محدد.
المزيد حول التكاملات المحددة
التكاملات المحددة هي النظائر ذات القيمة الكبيرة للتكاملات غير المحددة حيث تنتج عملية التكامل فعليًا عددًا محددًا.يمكن تعريفه بيانياً على أنه المنطقة التي يحدها منحنى الوظيفة ƒ ضمن فترة زمنية معينة. عندما يتم تنفيذ التكامل خلال فترة زمنية معينة من المتغير المستقل ، ينتج عن التكامل قيمة محددة تتم كتابتها غالبًا كـa∫bƒ (x) dx أوa∫bƒdx.
التكاملات غير المحددة والتكاملات المحددة مترابطة من خلال النظرية الأساسية الأولى في حساب التفاضل والتكامل ، والتي تسمح بحساب التكامل المحدد باستخدام التكاملات غير المحددة. تنص النظرية علىa∫bƒ (x) dx=F (b) -F (a) حيث F و هما دالات x ، و F قابلة للتفاضل في الفترة (أ ، ب). بالنظر إلى الفاصل الزمني ، يُعرف a و b بالحد الأدنى والحد الأعلى على التوالي.
بدلاً من التوقف مع الدوال الحقيقية فقط ، يمكن توسيع التكامل ليشمل الدوال المعقدة وتسمى تلك التكاملات التكاملات الكنتورية ، حيث ƒ هي دالة للمتغير المعقد.
ما هو الفرق بين التكاملات المحددة وغير المحددة؟
تمثل التكاملات غير المحددة مشتقات دالة ، وغالبًا ما تمثل مجموعة من الوظائف بدلاً من حل محدد. في التكاملات المحددة ، يعطي التكامل عددًا محددًا.
تربط التكاملات غير المحددة متغيرًا تعسفيًا (ومن ثم مجموعة الوظائف) ولا تحتوي التكاملات المحددة على ثابت تعسفي ، ولكن حدًا أعلى وحدًا أدنى للتكامل.
عادة ما يعطي التكامل غير المحدد حلاً عامًا للمعادلة التفاضلية.
