الفرق بين التسلسل الحسابي والتسلسل الهندسي

2024 مؤلف: Alex Aldridge | [email protected]. آخر تعديل: 2024-01-17 23:24

التسلسل الحسابي مقابل التسلسل الهندسي

دراسة أنماط الأعداد وسلوكها دراسة مهمة في مجال الرياضيات. غالبًا ما يمكن رؤية هذه الأنماط في الطبيعة وتساعدنا على شرح سلوكها من وجهة نظر علمية. المتتاليات الحسابية والتسلسلات الهندسية نوعان من الأنماط الأساسية التي تحدث في الأرقام ، وغالبًا ما توجد في الظواهر الطبيعية.

التسلسل هو مجموعة من الأرقام المرتبة. يمكن أن يكون عدد العناصر في التسلسل إما محدودًا أو غير محدود.

المزيد حول التسلسل الحسابي (التقدم الحسابي)

يتم تعريف التسلسل الحسابي على أنه تسلسل من الأرقام مع وجود فرق ثابت بين كل مصطلح متتالي. يُعرف أيضًا باسم التقدم الحسابي.

حسابي Sequnece ⇒ a₁، a₂، a_{3 ،}a₄، … ،_n؛ حيث أ₂=أ₁+ د ، أ₃=أ_{2+ د ، وهكذا}

إذا كان المصطلح الأولي هو₁والفرق المشترك هو d ، فإن مصطلح n^{thفي التسلسل يُعطى بواسطة ؛}

a_n=a_{1+ (n-1) d}

من خلال أخذ النتيجة أعلاه إلى أبعد من ذلك ، يمكن إعطاء مصطلح n^{thأيضًا ؛}

a_n=a_m+ (n-m) d ، حيث_{mمصطلح عشوائي في التسلسل مثل n > م.}

مجموعة الأرقام الزوجية ومجموعة الأرقام الفردية هي أبسط الأمثلة على المتتاليات الحسابية ، حيث يكون لكل متتالية فرق مشترك (د) من 2.

يمكن أن يكون عدد المصطلحات في التسلسل إما غير محدود أو محدود.في الحالة اللانهائية (n → ∞) ، يميل التسلسل إلى اللانهاية اعتمادًا على الاختلاف المشترك (a_{n→ ± ∞). إذا كان الفرق المشترك موجبًا (d > 0) ، فإن التسلسل يميل إلى اللانهاية الموجبة ، وإذا كان الفرق المشترك سالبًا (d < 0) ، فإنه يميل إلى اللانهاية السالبة. إذا كانت المصطلحات محدودة ، فإن التسلسل محدود أيضًا.}

يُعرف مجموع المصطلحات في التسلسل الحسابي بالسلسلة الحسابية: S_n=a₁+ a 2_{+ a}3_{+ a}4_{+ ⋯ + a}n_{=∑ i=1 → n}a_{i ؛}و S_n=(n / 2) (a₁+ a_n)=(n / 2) [2a₁+ (n-1) d] يعطي قيمة سلسلة (S_n)

المزيد حول التسلسل الهندسي (التقدم الهندسي)

يتم تعريف التسلسل الهندسي على أنه تسلسل يكون فيه حاصل قسمة أي فترتين متتاليتين ثابتًا. يُعرف هذا أيضًا بالتقدم الهندسي.

التسلسل الهندسي ⇒ a₁ ، a₂ ، a₃ ، a₄، … ،_n؛ حيث₂/ a₁=r ، a₃/ a_{2=r وهكذا ، حيث r هو رقم حقيقي}

من الأسهل تمثيل التسلسل الهندسي باستخدام النسبة المشتركة (ص) والمصطلح الأولي (أ). ومن هنا جاء التسلسل الهندسي ⇒ a₁، a₁r ، a₁r^{2، a}1_r3 ^{،…، a}1_rn-1.

الشكل العام لـ n^thالمصطلحات المقدمة بواسطة_n=a₁r^n-1. (فقدان رمز المصطلح الأولي ⇒ a_n=ar^n-1)

يمكن أن يكون التسلسل الهندسي أيضًا محدودًا أو غير محدود. إذا كان عدد المصطلحات محدودًا ، يُقال أن التسلسل محدود. وإذا كانت المصطلحات لا نهائية ، فيمكن أن يكون التسلسل إما لانهائيًا أو محدودًا اعتمادًا على النسبة r. تؤثر النسبة الشائعة على العديد من الخصائص في المتتاليات الهندسية.

r > o	0 < ص < + 1	يتقارب التسلسل - الاضمحلال الأسي ، أيn→ 0 ، n → ∞
	r=1	تسلسل ثابت ، أيn=ثابت
	r > 1	يتباعد التسلسل - النمو الأسي ، أيn→ ∞ ، n → ∞
r < 0	-1 < r < 0	التسلسل يتأرجح لكنه يتقارب
	r=1	التسلسل متناوب وثابت ، أيn=± ثابت
	r < -1	التسلسل يتناوب ويتباعد. أيn→ ± ∞ ، n → ∞
r=0	التسلسل عبارة عن سلسلة من الأصفار

ملحوظة: في جميع الحالات المذكورة أعلاه ، أ₁> 0 ؛ إذا كان₁< 0 ، فإن الإشارات المتعلقة بـ_{nسيتم عكسها.}

الفاصل الزمني بين ارتداد الكرة يتبع تسلسلًا هندسيًا في النموذج المثالي ، وهو تسلسل متقارب.

يُعرف مجموع شروط التسلسل الهندسي بالسلسلة الهندسية ؛ S_n=ar + ar²+ ar³+ ⋯ + arⁿ=∑_{i=1 → n}ar^{i. يمكن حساب مجموع المتسلسلة الهندسية باستخدام الصيغة التالية.}

S_n=a (1-r ^{) / (1-r) ؛ حيث ا هو المصطلح الأولي و ص هي النسبة}

إذا كانت النسبة r ≤ 1 ، تتقارب السلسلة. بالنسبة لسلسلة لا نهائية ، يتم إعطاء قيمة التقارب بواسطة S_{n=a / (1-r)}

ما هو الفرق بين الحساب والتسلسل الهندسي / التقدم؟

• في تسلسل حسابي ، يكون لأي مصطلحين متتاليين فرق مشترك (د) بينما في التسلسل الهندسي ، أي حدين متتاليين لهما حاصل قسمة ثابت (r).

• في التسلسل الحسابي ، يكون تباين المصطلحات خطيًا ، أي يمكن رسم خط مستقيم يمر عبر جميع النقاط. في المتسلسلة الهندسية ، يكون التباين أسيًا ؛ إما أن تنمو أو تتحلل على أساس النسبة المشتركة.

• جميع المتتاليات الحسابية اللانهائية متباعدة ، بينما السلاسل الهندسية اللانهائية يمكن أن تكون متباعدة أو متقاربة.

• يمكن للسلسلة الهندسية إظهار التذبذب إذا كانت النسبة r سالبة بينما لا تعرض السلسلة الحسابية التذبذب