Riemann Integral vs Lebesgue Integral
التكامل هو موضوع رئيسي في حساب التفاضل والتكامل. بمعنى أكثر بروزًا ، يمكن النظر إلى التكامل على أنه عملية عكسية للتمايز. عند نمذجة مشاكل العالم الحقيقي ، من السهل كتابة تعبيرات تتضمن مشتقات. في مثل هذه الحالة ، تكون عملية التكامل مطلوبة للعثور على الوظيفة ، والتي أعطت المشتق المعين.
من زاوية أخرى ، التكامل هو عملية تلخص ناتج الدالة ƒ (x) و x ، حيث تميل δx إلى أن تكون حدًا معينًا. لهذا السبب ، نستخدم رمز التكامل كـ ∫. الرمز ∫ هو في الواقع ما نحصل عليه من خلال تمديد الحرف s للإشارة إلى المجموع.
لا يتجزأ ريمان
ضع في اعتبارك وظيفة y=ƒ (x). تكامل y بين a و b ، حيث a و b ينتميان إلى مجموعة x ، مكتوب بالشكلb∫aƒ (x) dx=[F (x)]a → b=F (b) - F (a). وهذا ما يسمى تكاملاً محددًا للدالة ذات القيمة الفردية والدالة المستمرة y=ƒ (x) بين a و b. هذا يعطي المنطقة الواقعة أسفل المنحنى بين a و b. يسمى هذا أيضًا تكامل ريمان. تم إنشاء Riemann Integral بواسطة Bernhard Riemann. يعتمد تكامل ريمان للدالة المستمرة على مقياس الأردن ، لذلك يتم تعريفه أيضًا على أنه حد مجموع ريمان للدالة. لوظيفة ذات قيمة حقيقية محددة على فاصل مغلق ، تكامل Riemann للوظيفة فيما يتعلق بالقسم x1، x2، … ، xnمحدد على الفاصل الزمني [a ، b] و t1، t2،… ، t n، حيث xi≤ ti≤ xi + 1لـ كل i ε {1، 2،…، n} ، يتم تعريف مجموع Riemann على أنه Σi=o to n-1ƒ (ti) (xi + 1- xi).
Lebesgue لا يتجزأ
Lebesgue هو نوع آخر من التكامل ، والذي يغطي مجموعة متنوعة من الحالات بخلاف تكامل Riemann. تم تقديم تكامل lebesgue بواسطة Henri Lebesgue في عام 1902. يمكن اعتبار تكامل Legesgue بمثابة تعميم لتكامل Riemann.
لماذا نحتاج إلى دراسة جزء متكامل آخر؟
دعونا نفكر في الوظيفة المميزة ƒA (x)={ 0 if ، x not ε A1 إذا ، x ε Aعلى مجموعة A. ثم تركيبة خطية محدودة من الوظائف المميزة ، والتي يتم تعريفها على أنها F (x)=Σ aiƒ Ei(x) تسمى الوظيفة البسيطة إذا كانت Eiقابلة للقياس لكل منها. يُشار إلى تكامل Lebesgue لـ F (x) على E بواسطةE∫ ƒ (x) dx. الدالة F (x) غير قابلة للتكامل بواسطة Riemann. لذلك فإن تكامل ليبسج هو إعادة صياغة ريمان لا يتجزأ ، والذي له بعض القيود على الدوال المراد تكاملها.
ما الفرق بين Riemann Integral و Lebesgue Integral؟
· تكامل Lebesgue هو نموذج تعميم لتكامل ريمان.
· يسمح تكامل Lebesgue بعدد لا نهائي من الانقطاعات ، بينما يسمح تكامل Riemann بعدد محدود من الانقطاعات.
