سلسلة الطاقة مقابل سلسلة تايلور
في الرياضيات ، التسلسل الحقيقي هو قائمة مرتبة من الأرقام الحقيقية. بشكل رسمي ، إنها دالة من مجموعة الأعداد الطبيعية إلى مجموعة الأعداد الحقيقية. إذا كانnهو مصطلح nthمن التسلسل ، فإننا نشير إلى التسلسل بواسطة أو بواسطة1، a2 ،…، an، …. على سبيل المثال ، ضع في اعتبارك التسلسل 1 ، ½ ، ⅓ ، … ،1/n،…. يمكن الإشارة إليه كـ {1 / n}.
من الممكن تحديد سلسلة باستخدام التسلسلات. المتسلسلة هي مجموع شروط التسلسل. لذلك ، لكل تسلسل ، هناك تسلسل مرتبط والعكس صحيح.إذا كان {an}هو التسلسل قيد الدراسة ، إذن ، يمكن تمثيل السلسلة المكونة من هذا التسلسل على النحو التالي:
وهكذا ، في المثال أعلاه ، السلسلة المرتبطة هي 1 +1/2+1/3+… +1/n+….
كما توحي الأسماء ، فإن سلسلة الطاقة هي نوع خاص من السلاسل وتستخدم على نطاق واسع في التحليل العددي والنمذجة الرياضية ذات الصلة. سلسلة Taylor هي سلسلة طاقة خاصة توفر طريقة بديلة وسهلة التلاعب لتمثيل الوظائف المعروفة.
ما هي سلسلة الطاقة؟
سلسلة الطاقة هي سلسلة على شكل
وهو متقارب (ربما) لبعض الفاصل الزمني المتمركز في c. يمكن أن تكون المعاملات anأرقامًا حقيقية أو معقدة ، ومستقلة عن x ؛ أي المتغير الوهمي.
على سبيل المثال ، من خلال تعيينn=1 لكل n ، و c=0 ، سلسلة القوة 1 + x + x2+….. + x+… يتم الحصول عليها. من السهل ملاحظة أنه عندما x ε (-1 ، 1) ، تتقارب سلسلة الأس هذه إلى 1 / (1-x).
تتقارب سلسلة القدرة عندما x=c. القيم الأخرى لـ x التي تتقارب من أجلها سلسلة الأس ستأخذ دائمًا شكل فترة مفتوحة تتمحور حول c. أي ، ستكون هناك قيمة 0≤ R ≤ ∞ بحيث تكون سلسلة الطاقة متقاربة لكل x مُرضي | x-c | ≤ R ، ولكل x مُرضي | x-c | > R ، تكون سلسلة الطاقة متباعدة. تسمى هذه القيمة R نصف قطر تقارب سلسلة القدرة (يمكن أن تأخذ R أي قيمة حقيقية أو ما لا نهاية موجبة).
يمكن إضافة سلسلة الطاقة وطرحها ومضاعفتها وتقسيمها باستخدام القواعد التالية. ضع في اعتبارك سلسلتي القوة:
ثم
أي. يتم إضافة أو طرح المصطلحات المتشابهة معًا. أيضا ، من الممكن ضرب وقسمة سلسلتي القوة باستخدام الهوية ،
ما هي سلسلة تايلور؟
يتم تعريف سلسلة تايلور للدالة f (x) التي يمكن تفاضلها بلا حدود على فترة. افترض أن f (x) قابلة للاشتقاق على فترة تتمحور حول c. ثم سلسلة القوة التي تعطى بواسطة
يسمى توسيع سلسلة تايلور للوظيفة f (x) حول c. (هنا f(n)(c) تدل على مشتق nthعند x=c). في التحليل العددي ، يتم استخدام عدد محدود من المصطلحات في هذا التوسع اللانهائي في حساب القيم عند النقاط التي تكون فيها السلسلة متقاربة مع الوظيفة الأصلية.
يقال إن الدالة f (x) تحليلية في الفترة (أ ، ب) ، إذا كانت سلسلة تايلور من f (x) تتقارب مع كل x ε (أ ، ب) ، إلى الوظيفة f (خ). على سبيل المثال ، 1 / (1-x) تحليلي على (-1 ، 1) ، منذ توسيع تايلور 1 + x + x2+…. + x + … يتقارب مع الوظيفة في تلك الفترة الزمنية ، و exتحليلي في كل مكان ، نظرًا لأن سلسلة تايلور من exتتقارب مع exلكل رقم حقيقي x.
ما الفرق بين سلسلة Power وسلسلة Taylor؟
1. سلسلة تايلور هي فئة خاصة من سلاسل الطاقة المحددة فقط للوظائف التي يمكن تمييزها بشكل لا نهائي في بعض الفواصل الزمنية المفتوحة.
2. تأخذ سلسلة تايلور الشكل الخاص
بينما ، يمكن أن تكون سلسلة الطاقة أي سلسلة بالشكل
