تحولات لابلاس مقابل فورييه
كل من تحويل لابلاس وتحويل فورييه عبارة عن تحويلات متكاملة ، والتي يتم استخدامها بشكل شائع كطرق رياضية لحل الأنظمة الفيزيائية المنمذجة رياضياً. العملية بسيطة. يتم تحويل النموذج الرياضي المعقد إلى نموذج أبسط وقابل للحل باستخدام تحويل متكامل. بمجرد حل النموذج الأبسط ، يتم تطبيق التحويل المتكامل العكسي ، والذي سيوفر الحل للنموذج الأصلي.
على سبيل المثال ، نظرًا لأن معظم الأنظمة الفيزيائية تؤدي إلى معادلات تفاضلية ، فيمكن تحويلها إلى معادلات جبرية أو إلى معادلات تفاضلية قابلة للحل بسهولة إلى درجة أقل باستخدام تحويل متكامل. ثم يصبح حل المشكلة أسهل.
ما هو تحويل لابلاس؟
بالنظر إلى الدالة f (t) لمتغير حقيقي t ، يتم تعريف تحويل لابلاس من خلال [اللاتكس] F (s)=\\ int_ {0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt [/latex] (متى وجدت) ، وهي دالة لمتغير معقد s. عادة ما يتم الإشارة إليها بواسطة L {f (t)}. يعتبر تحويل لابلاس العكسي للدالة F (s) هو الوظيفة f (t) بطريقة تجعل L {f (t)}=F (s) ، وفي التدوين الرياضي المعتاد نكتب ، L-1{F (s)}=f (t). يمكن جعل التحويل العكسي فريدًا إذا لم يُسمح بالوظائف الفارغة. يمكن للمرء تحديد هذين على أنهما عاملان خطيان محددان في مساحة الوظيفة ، ومن السهل أيضًا رؤية ذلك ، L-1{L {f (t)}}=f (t) ، إذا كانت الدوال الفارغة غير مسموح بها.
يسرد الجدول التالي تحويلات لابلاس لبعض الوظائف الأكثر شيوعًا.
ما هو تحويل فورييه
بالنظر إلى الدالة f (t) لمتغير حقيقي t ، يتم تحديد تحويل لابلاس من خلال [اللاتكس] F (\ alpha)=\\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi}} / int _ {- \\ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \\ alpha t} f (t) dt [/latex] (متى وُجد) ، ويُرمز له عادةً بـ F {f (ر)}. يُعطى التحويل العكسي F-1{F (α)} بواسطة التكامل [اللاتكس] f (t)=\\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi }} / int _ {- \\ infty} ^ {\ infty} e ^ {- i \\ alpha t} F (\ alpha) d \\ alpha [/latex]. تحويل فورييه هو أيضًا خطي ، ويمكن اعتباره عاملًا محددًا في فضاء الوظيفة.
باستخدام تحويل فورييه ، يمكن كتابة الوظيفة الأصلية على النحو التالي بشرط أن تحتوي الوظيفة على عدد محدود فقط من الانقطاعات وأنها قابلة للتكامل تمامًا.
ما هو الفرق بين تحولات لابلاس و فورييه؟
- يتم تعريف تحويل فورييه للدالة f (t) على أنه [اللاتكس] F (\ alpha)=\\ frac {1} {\ sqrt {2 \\ pi}} / int _ {- / \ infty} ^ {\ infty} e ^ {i \\ alpha t} f (t) dt [/latex] ، بينما يتم تعريف تحويل لابلاس على أنه [اللاتكس] F (s)=\\ int_ { 0} ^ {\ infty} e ^ {- st} f (t) dt [/latex].
- يتم تعريف تحويل فورييه فقط للوظائف المحددة لجميع الأرقام الحقيقية ، بينما لا يتطلب تحويل لابلاس تحديد الوظيفة عند تعيين الأرقام الحقيقية السالبة.
- تحويل فورييه هو حالة خاصة لتحويل لابلاس. يمكن ملاحظة أن كلاهما يتطابق مع الأرقام الحقيقية غير السالبة. (على سبيل المثال ، خذ s في لابلاس لتكون iα + β حيث تكون α و حقيقية بحيث تكون eβ=1/√ (2ᴫ))
- كل دالة لها تحويل فورييه سيكون لها تحويل لابلاس ولكن ليس العكس.
